Date: 1997/06/22
Come on now little man, get away from your worldly occupations
for a while, escape from your tumultuous thoughts. Lay aside
your burdensome cares and put off your laborious exertions.
Give yourself over to God for a little while, and rest for a
while in Him. Enter into the cell of your mind, shut out
everything except God and whatever helps you to seek Him once
the door is shut. Speak now, my heart, and say to God, "I seek
your face; your face, Lord, I seek."
Итак, малыш, оставь на время свои мирские занятия, отбрось свои
суетные мысли. Отложи свои тяжкие заботы и труды. Предайся не-
надолго Господу и отдохни в нем. Войди в разум свой и выкинь за
дверь все, кроме Господа и того, что помогает тебе найти его,
когда дверь закрыта. А теперь, говори, мое сердце, и скажи Гос-
поду, "Я ищу твое лицо; твое лицо, Господь, я ищу."
Ансельм Кентерберийский. Proslogion.
1. Святой Ансельм - архиепископ Кентерберийский (1033-1109).
Автор доказательства Бытия Божьего, основанного, по сути, на мо-
дальной логике (открытой, впрочем, несколько позже, в XX-м веке).
Данная работа является, сокращенным и переработанным, обзором
статьи профессора Gary Mar'a "The modal unity of Anselm's
Proslogion".
(http://www.sunysb.edu/philosophy/faculty/gmar/anselm.txt)
К сожалению, уважаемый профессор сначала написал статью с ис-
пользованием каких-то развитых средств (обеспечивающих, в час-
тности, работу с фонтами и построение диаграм), а затем сконвер-
тировал ее в обычный текст. Поэтому восстановление доказа-
тельств отняло у меня некоторое время.
LAD
2. Модальная логика используется для работы с высказывания типа:
возможно, что необходимо, что ...; я знаю, что я предполагаю,
что я знаю что ... или аналогичными.
Строится она по следующему рецепту:
Берем логику высказываний (например, a и не a = ложь, a или (а
и b) = а, и так далее и тому подобное). Добавляем к ней 2 опера-
тора <> и []. Это связки, подобные связкам "для любого" x (Ax)
или "существует" x (Ex). Разница в том, что они не зависят от
переменной x.
Связка <>, обычно, обозначает возможность (в том или ином смысле), а
связка [] - необходимость (или знание).
Варианты: [] - всегда <> - иногда
[] - везде <> - где-то
[] - нужно <> - допустимо
[] - необходимо <> - возможно
[] - известно <> - можно предположить
[] - внутренне <> - внутренне непротиворечиво
противоречиво
обратное
На самом деле, во всех этих парах [] можно представить как ~<>~
(~ - отрицание), т.е. если <> - означает иногда, [] - означает -
неверно, что иногда выполняется обратное - т.е. всегда выполняет-
ся это. То же самое верно и для Ax, Ex : Ax = ~ Ex ~ (для любо-
го x p(x) = неверно, что существует x для которого ~p(x)). Ана-
логично, <> = ~[]~.
Далее добавляем аксиомы и правила вывода:
1) Если p - тавтология (тождественная истина) в логике высказы-
ваний, то []p (скажем, q -> q и, следовательно, [](q -> q)).
2) аксиома дистрибутивности (K): [](p->q) -> ([]p -> []q) (т.е.
если необходимо, что p->q, то из необходимости p следует
необходимость q)
3) (modus ponens): p, p->q
-------
q
4) другие аксиомы по вкусу (см.далее).
Обычно, верна следующая цепочка импликаций:
[]p -> p -> <>p
(примерный смысл: p необходимо истино -> p (случайно) истино ->
p возможно истино)
Упражнения:
1) Перевести на русский язык высказывание: []~<>~G, где <> -
возможно, G - Бог существует, и упростить его.
2) Перевести на язык модальной логики фразу: "Высказывание 'ут-
верждение, что Бог не существует, внутренне противоречиво' -
внутренне непротиворечиво", подходящим образом подобрав обоз-
начения.
3) Доказать: Ap : p -> []<>p <=> Ap: <>[]p -> p
(Напоминаю, a -> b <=> ~b -> ~a).
3. Таким образом у нас есть формальный метод (формализм) обработ-
ки сложных высказываний, позволяющий не запутаться в утвержде-
ниях типа:
For one can think there exists something that cannot be thought
of as not existing, and that would be greater than something
which can be thought of as not existing. For if that greater
than which cannot be thought can be thought of as not existing,
then that greater than which cannot be thought is not that
greater than which cannot be thought ...
Поскольку можно подумать, что существует нечто, о чем нельзя
подумать, как о несуществующем, и это нечто, более великое, чем
то, о чем можно подумать, как о несуществующем. Поскольку, ес-
ли об этом, величественнее которого нельзя придумать, можно по-
думать, как о несуществующем, то это, величественнее которого
нельзя придумать, не является тем, величественнее которого
нельзя придумать ...
Ансельм в своем доказательстве определяет Бога как
a-being-than-which-a-greater-cannot-be-thought (существо, вели-
чественне которого представить невозможно)
Сократим утверждение
a-being-than-which-a-greater-cannot-be-thought exists (существо,
величественне которого представить невозможно, существует) до G.
Далее, G can be thought (G мыслимо) обозначим, как G
- это наш модальный оператор <>, но помеченный буквой с
(conceivable - мыслимый).
На самом деле, Ансельм, по-видимому, имеет в виду следующее:
G = ничто не мешает представить, что G, т.е. G - внутренне
непротиворечиво (в.п.), иначе говоря, концептуально целостно.
[c] - (естественно) равно ~~, т.е. [c]G = неверно, что внут-
ренне непротиворечиво ~G, т.е. внутренне противоречиво (в.п.) ~G.
Итак, [c]G = утверждение, что Бога нет, в.п.
(G = утверждение, что Бог есть, в.н.)
------------------------------------------------------------------------
"Come on then, my Lord God, teach my heart where and how to
seek you, where and how to find you. Lord, if you are not here,
where shall I find you? If, however, you are everywhere, why do
I not see you here? But certainly you dwell in inaccessible
light. And where is that inaccessible light? Or how do I reach
it? "
"Мой Господь Бог, научи мое сердце, где и как искать тебя, где
и как найти тебя. Господь, если ты не здесь, где я найду тебя ?
Если же ты повсюду, почему же я не вижу тебя здесь ? Ну, конеч-
но, ты сияешь недоступным светом. И где он - этот свет ? И как
мне достичь его ?"
Ансельм Кентерберийский. Proslogion.
4. Теперь, у нас есть почти все, что нужно, для доказательства
Бытия Божьего.
1-ая посылка Ансельма: G -> [c]G (из Бытия Божьего следует,
что утверждение, что Бога нет, в.п.) - является тавтологией,
т.е. верно следующее:
[c](G -> [c]G)
Я уклонюсь от обсуждения этой посылки под тем предлогом, что
если G - истинно, то это как раз то, что хотелось бы доказать,
а если G - то ложно, то "из лжи что угодно" (из лжи можно до-
казать что угодно, Вы этого еще не забыли ?).
2-ая посылка Ансельма: G - это значит, что Бога можно себе
представить, не впадая в противоречие, что утверждение, что
Бог есть, в.н. (внутренне непротиворечиво). Gary Mar обзывает
человека, придерживающегося этой посылки notional theist
(приблизительно, умозрительный теист), в отличие от notional
atheist'a (умозрительного атеиста), придерживающегося той точ-
ки зрения, что ~G и notional agnostic'a (умозрительного аг-
ностика), придерживающегося той точки зрения, что G & ~G
(обе точки зрения: что Бог есть и что Бога нет вполне возмож-
ны).
Дополнительная аксиома T: []p->p
Если ~p - в.п., то p (очевидно).
Дополнительная аксиома (CFPE): [](p->q) & <>p -> <>q
Это очень естественная аксиома: если из p следует q, и p - в.н., то
и q - в.н.
Дополнительная аксиома (Брауэра): Ap p -> []<>p
G -> [c]G (Из существования Бога следует, что утверждение
~G в.п. т.е. утверждение "утверждение, что Бог есть,
в.п." - в.п.)
Обоснование:
В самом деле, если утверждение, что Бог есть, в.п., то Бог а
не существует, что противоречит посылке (G). Таким образом,
утверждение "утверждение, что Бог есть, в.п." - в.п.
Эту аксиому можно представить в дуальной форме:
Ap <>[]p -> p
Доказательство: Ap p -> [c]p <=> Ap ~~~p -> ~p <=>
Ap ~~~~~p -> ~p <=> Ap ~~~p -> ~p <=>
Ap [c]~p -> ~p <=> Aq [c]q -> q (замена ~p на q,
поскольку для Ap).
Доказательство Б.Б. (Бытия Божьего):
------------------------------------
1) [c](G -> [c]G) - 1-ая посылка
2) G -> [c]G - аксиома T
3) G - 2-ая посылка
4) [c]G - 3)+2)+CFPE
5) G - 4)+аксиома Брауэра в дуальной форме
===
Вот и все !!!
Попробуйте найти ошибку (в посылках, аксиомах, выводе).
Примечание. Поскольку мы нигде не использовали специфические
особенности Господа нашего в доказательстве его существования,
из оного следует, что любой объект, утверждение о существова-
нии которго в.н., существует, т.е., в частности, что все разум-
ное - действительно (Гегель).
5. Доказательство неБытия Божьего.
Ансельм ссылается на Безумца из Писания:
'Сказал безумец в сердце своем: "нет Бога". Они развратились,
совершили гнусные дела; нет делающего добро.' (Пс.13 и 52).
Формализуя подход к делу безумца можно сказать, что он придержи-
вается, как минимум, позиции "умозрительного атеиста" (~G).
Убедит ли его приведенное выше доказательство ? Нет, ибо ему он
противопоставит свое
Доказательство неБ.Б.:
----------------------
1) [c](G -> [c]G) - 1-ая посылка Ансельма
2) ~G - 1-ая посылка Безумца
3) G -> [c]G - аксиома T
4) ~[c]G - ~G <=> ~[c]G
5) ~[c]G -> ~G - обращение 3)
6) ~G - 4)+5)+modus ponens
===
На самом деле, Ансельм считает, что позиция Безумца противоречи-
ва, ибо отвергая Бога, он тем самым отвергает понятие Бога и,
значит, сознает, что такое понятие существует (имеет право на
существование):
"But certainly that same fool, having heard what I just said,
"something greater than which cannot be thought," understands
what he heard, and what he understands is in his thought, even
if he does not think it exists. "
"Но, конечно, этот безумец, услышав то, что я сказал, "нечто,
величественнее чего нельзя представить", понимает то, что он
слышит, и то, что он понимает - в его помыслах, даже, если он
не думает, что это нечто существует".
6. Какая отсюда следует мораль:
Доказательство Б.Б. зависит от того, является ли утверждение
"Бог существует" - в.н. или нет.
Заметим, что поскольку G -> G, а ~G -> ~G позиция G &
~G (умозрительного агностика) - внутренне противоречива !
Нельзя быть агностиком ! Все или ничего !
7. Далее, Ансельм доказывает необходимость того обстоятельства, что
G -> G (т.е. утверждение [c](G -> G)). Здесь он существен-
ным образом опирается на позитивные свойства Господа, упоминая
их в своих посылках для нового доказательства:
Обозначим, любое такое позитивное свойство Господа (например,
всеведение), как p. ("Ты знаешь, когда я сажусь и когда встаю;
Ты разумеешь помышления мои издали" - Пс. 138).
Ансельм выдвигает следующие предпосылки:
1-ая посылка Ансельма: [c](G & ~G -> ~p)
2-ая посылка Ансельма: [c]p
3-ая посылка Ансельма: G
Аксиома (позитивной интроспекции - S4): Ap []p -> [][]p
(Использование этой аксиомы на совести Ансельма (или Gary Mar'a)).
Доказательство
---------------
1) [c]((G & ~G) -> ~p) - 1-ая посылка Ансельма
2) [c]p - 2-ая посылка Ансельма
3) G - 3-ая посылка Ансельма
4) [c]((G & ~G) -> ~[c]p) - 1): ~p <=> ~[c]p
5) [c]((G & [c]p) -> G) - 4) p -> q <=> ~p или q
6) [c][c]p - 2) + S4
7) [c](G -> G) - [c]p протащили под скобку м учли, что это
============== истина
Таким образом, из того, что G -в.н. следует G необходимым (обратное в.п.),
образом.
8. Рассмотрим следующий пассаж из Ансельма:
"In fact, it so undoubtedly exists that it cannot be thought of
as not existing. For one can think there exists something that
cannot be thought of as not existing, and that would be greater
than something which can be thought of as not existing. For if
that greater than which cannot be thought can be thought of as
not existing, then that greater than which cannot be thought is
not that greater than which cannot be thought, which does not
make sense. Thus that than which nothing can be thought so
undoubtedly exists that it cannot even be thought of as not
existing. And you, Lord God, are this being."
"На самом деле, он столь несомненно существует, что нельзя да-
же помыслить, что он не существует. Поскольку можно подумать,
что существует нечто, о чем нельзя подумать, как о несуществую-
щем, и это нечто, более великое, чем то, о чем можно подумать,
как о несуществующем. Поскольку, если об этом, величественнее
которого нельзя придумать, можно подумать, как о несуществую-
щем, то это, величественнее которого нельзя придумать, не яв-
ляется тем, величественнее которого нельзя придумать, что бес-
смыслица. Таким образом, то, о чем ничего нельзя подумать так
несомненно существует, что нельзя даже подумать о нем, как о
несуществующем. И ты, Господь, и есть это нечто".
Обратите внимание на следующее:
"... one can think there exists something that cannot be thought
of as not existing ..." ("можно подумать, что существует нечто, о
чем нельзя подумать, как о несуществующем")
Это можно интерпретировать следующим образом: ~~G.
На самом деле Ансельм, видимо, использует посылку:
~~G -> ~~G
или упрощая: [c]G -> [c]G (что совпадает с аксиомой S5 - ак-
сиомой негативной интроспекции модальной логики. Эта аксиома
весьма обременительная в том смысле, что выражает совершенное
понимание пределов нашего знания или веры, но это мы оставим на
совести Святого Ансельма Кентерберийского).
В приведенном ниже доказательстве эта аксиома используется в
дуальной форме: G -> [c]G (Истинность дуальной формы дока-
зывается так же, как истинность дуальной формы для аксиомы
Брауэра. Верно и более общее утверждение: дуальная форма истин-
ного утверждения - истинна. Дуальная форма утыерждения A -> B
равна d(B) -> d(A), где d - заменяет все [] на <> и наоборот.)
Исходя из этой аксиомы, докажем [c]G - Господь не только сущес-
твует, но и существует необходимым образом, не может не сущес-
твовать, поскольку утверждение "Бог не существует" - в.п.
Доказательство
---------------
1) G - посылка Ансельма
2) [c](G -> G) - доказано ранее
3) G -> [c]G - аксиома S5
3) [c]G - 1)+S5
4) [c]G -> [c]G - 2)+K (аксиома дистриьутивности)
5) [c]G - 3)+4)+modus ponens
9. Теперь о совершенстве Господнем.
Докажем, что [c]p - Бог совершенен (в разных смыслах)
1) [c]G - доказано
2) [c](G <-> p) - посылка
3) [c]p
====
10.
"Thank you, my good God, thank you, because what I believed
earlier through your gift I now understand through your
illumination in such a way that I would be unable not to
understand it even if I did not want to believe you existed."
"Благодарю тебя, о благий Господь, благодарю тебя, ибо то, во
что ранее верил я по дару твоему, теперь я понял по вразумле-
нию твоему и так, что не был бы в силах не понимать, даже если
бы и не было бы у меня желания верить в существование твое".
Ансельм Кентерберийский. Proslogion.
---------------------------------------------------------------------
Я знаю, где ошибки в приведенных выше доказательствах, но эти
сведения я опубликую позже.
Меня занимает действительно интересный вопрос: какие свойства и
определения Господа можно считать внутренне непротиворечивыми в
том смысле, что отрицание их недоказуемо (например, всеведение,
всемогущество и свобода воли для человечества, в совокупности,
понимаемые в "разумном" смысле, внутренне противоречивы) и, ка-
ков уровень доказуемости этих свойств или их отрицаний (я счи-
таю, что доказать (и опровергнуть !) существование Бога рацио-
нальными средствами невозможно, но можно ли доказать недоказуе-
мость существования (и/или несуществования) или доказать недока-
зуемость недоказуемости существования или доказать недоказуе-
мость ...).
21.06.97 LAD